递推数列是指数列中从某一项开始,每项都是其前面的项经过一定的运算得到的数列形式,一般包括和递推、差递推、积递推、方递推、倍数递推、商递推等。递推数列可以“从前往后”、“从后往前”考虑。
1.和差递推型
例题
1,3,0,6,10,9,( )
A.13 B.14 C.15 D.17
D【解析】1+3+0=4,3+0+6=9,0+6+10=16,6+10+9=25,故10+9+（ ）=36 （ ）=17
【技巧突破】相邻三项求和后研究数列规律在过去的考题中不常见,本题难度较大。考试的时候2分钟内无法求解.即可跳过去。
和差递推数列的特征是整体递增或递减,变化平缓。
2.积商递推型。
0.5,1,2,5,17,107,( )。
A.1947 B.1945 C.1943 D.1941
【答案】C【解析】将各项加1,则原数列变为:1.5,2,3,6,18,108,其中
1.5×2=3,2×3=6,3×6=18,6×18=108,18×108=1944,1944-1=1943,故选C。
积商递推数列整体变化较快,相邻三项构成积关系或商关系,或者是通过修正项使三者关系成立。
3.倍数递推型
3,5,10,25,75,( ),875。
A.125 B.250 C.275 D.350
B【解析】(5-3)×5=10,(10-5)×5=25,(25-10)×5=75,(75-25)×5=(250),(250-75)×5=875。故B项为正确答案。
倍数递推数列中相邻两项构成明显的倍数关系或者倍数关系的修正。
4.和差倍递推型
157,65,27,11,5,( )
A.4 B.3 C.2 D.1
D【解析】和差倍递推数列。157=65×2+27;65=27×2+11;27=11×2+5;11=5×2+(1)。答案为D
【技巧突破】递推公式为an=2an+1+an+2。
和差倍递推数列是和差数列和倍数数列的组合。一般形式为:前两项先做和或者差,再乘以一个倍数等于第三项.
5.方递推型
例题：
1,3,4,1,9,( )
A.5 B.11 C.14 D.64
D本题为递推平方数列。(1-3)2=4;(3-4)2=1;(4-1)2=9;(1-9)2=64,故选D。
【技巧突破】由4,1,9联想到2,1,3的平方,再从相邻两项间找规律,发现相邻两项做差后平方得到下一项,便可总结出规律。
总结：
方递推数列是递推数列中相对最少见的,其增长幅度往往很大而且很明显。
此外要掌握递推数列求解中的两种方法:整体趋势法和递推联系法。
“整体趋势法”是指以数列的整体变化趋势为主要依据,从而判断数列的递推类型的一种方法。由于不同类型的递推方式有不同的“数列大小变化趋势”,所以绝大部分的递推数列可以通过“整体趋势法”进行有效判断。
整体趋势法”主要包括“看趋势”和“做试探”两个过程：
(1)看趋势:根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式。
(2)做试探:根据初步判断的趋势做合理的试探,并分析其误差,即“修正项”。整体趋势法”的大致思维流程,可以具体用下图表示:
“递推联系法”是指研究递推数列当中相邻两个或者三个数字之间的“递推联系”,从而找到解题关键的方法。
“递推联系法”与“整体趋势法”是解答递推数列的两种相对独立的方法。相对而言，“递推联系法”求解更为迅速,覆盖面更广;而“整体趋势法”解题操作更加简便、机械。因此,对于较难、较新的题型而言,“递推联系法”更容易帮助考生找到答案,但要求考生有较高的“数字敏感”度(即多数字递推联系)。考生可以在实践中熟练掌握两种方法,在具体练习当中对照使用,这两种方法完全可以起“相辅相成”的作用。
“递推联系法”分成两种情形:
(1)两项递推(研究相邻三个数字的递推联系);
(2)单项递推(研究相邻两个数字的递推联系)
使用法则
圈定数列当中三个相邻数字(要求这三个数字较大以不失代表性,但也不要过大以致增加计算复杂性),研究这三个数字当中前两个数字去处得到第三个数字的所有简单递推形式,将得到的递推形式代入到其他数字之间进行验算,全部吻合者为最终规律。
